Limites aux bornes

Propriété

\(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\ln(x)=-\infty\)  et \(\lim\limits_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty\)

Démonstration

• Soit \(A \in \mathbb{R}\) .
  Pour tout réel \(x \geqslant \text{e}^A,\ \ln(x) \geqslant A\) .
  Ainsi, tout intervalle de la forme  \([A\ ;+\infty[\) contient toutes les valeurs de  \(\ln(x)\)  pour  \(x\) suffisamment grand donc \(\lim\limits_{x \to +\infty}\ln(x)=+\infty\) .
  
• Pour tout réel \(x>0,\ \ln(x)=-\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)\) .
  \(\lim\limits_{\color{green}{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\dfrac{1}{x}=\color{red}{+\infty}\)  et \(\lim\limits_\color{red}{{X \to +\infty}}\ln(X)=\color{blue}{+\infty}\)  donc par composée \(\lim\limits_\color{green}{{\substack{x \to 0 \\ x>0}}}\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=\color{blue}{+\infty}\) .
  Comme  \(\ln(x)=-\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)\) donc \(\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\ln(x)=-\infty\) .